Febrero

LAPLACIANO DE UN CAMPO ESCALAR 

INTEGRALES DE LINEA

Es una integral cuya función se encuentra evaluada sobre una curva C. Tiene varias aplicaciones, como determinar la longitud de una curva o para determinar el trabajo realizado por una partícula. La integral de linea esta definida por la siguiente expresión:

Para la resolución de estas integrales, se debe seguir los siguientes pasos:
1. Parametrizar las variables
2. Derivar las variables parametrizadas
3. Reemplazar las nuevas variables en la función f(x,y)
4. Simplificar algebraicamente lo que sea posible
5. Resolver la integral

DEFINICIÓN

INDEPENDENCIA DE LA TRAYECTORIA

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TEOREMA DE GREEN 

El teorema de Green da la relación entre una integral de línea alrededor de una curva cerrada simple C y una integral doble sobre la región plana D limitada por C. El teorema de Green se llama así por el científico británico George Green, y resulta ser un caso especial del más general teorema de Stokes. El teorema afirma:

Sea C una curva cerrada simple positivamente orientada, diferenciable por trozos, en el plano y sea D la región limitada por C. Si P y Q tienen derivadas parciales continuas en una región abierta que contiene D,

${\displaystyle \int _{C^{+}}(P\,dx+Q\,dy)=\int \!\!\!\int _{D}\left({\frac {\partial Q}{\partial x}}-{\frac {\partial P}{\partial y}}\right)\,dA}$

A veces la notación

${\displaystyle \oint _{C^{+}}(P\,dx+Q\,dy)}$

se utiliza para establecer que la integral de línea está calculada usando la orientación positiva (antihoraria) de la curva cerrada C.

ROTACIONAL

En el cálculo vectorial, el rotacional o rotor es un operador vectorial sobre campos vectoriales definidos en un abierto de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto.

Matemáticamente, esta idea se expresa como el límite de la circulación del campo vectorial, cuando la curva sobre la que se integra se reduce a un punto:

${\displaystyle \mathbf {U} \cdot {\mbox{rot}}\ \mathbf {F} =\mathbf {U} \cdot \nabla \times \mathbf {F} \equiv \lim _{\Delta S\to 0}{\frac {1}{\Delta S}}\oint _{C}\mathbf {F} \cdot {\text{d}}\mathbf {r} }$

Aquí, ${\displaystyle \Delta S}$ es el área de la superficie apoyada en la curva ${\displaystyle C}$, que se reduce a un punto. El resultado de este límite no es el rotacional completo (que es un vector), sino solo su componente según la dirección normal a ${\displaystyle \Delta S}$ y orientada según la regla de la mano derecha. Para obtener el rotacional completo deberán calcularse tres límites, considerando tres curvas situadas en planos perpendiculares.

Aunque el que el rotacional de un campo alrededor de un punto sea distinto de cero no implica que las líneas de campo giren alrededor de ese punto y lo encierren. Por ejemplo, el campo de velocidades de un fluido que circula por una tubería (conocido como perfil de Poiseuille) posee un rotacional no nulo en todas partes, salvo en el eje central, pese a que la corriente fluye en línea recta:

La idea es que si colocamos una rueda de paletas infinitamente pequeña en el interior del campo vectorial, esta rueda girará, aunque el campo tenga siempre la misma dirección, debido a la diferente magnitud del campo a un lado y a otro de la rueda.

DIVERGENCIA

La divergencia de un campo vectorial 

en coordenadas rectangulares se define como el producto escalar del operador nabla por la función

La divergencia es una función escalar del campo vectorial. El teorema de la divergencia es una herramienta matemática importante en la Electricidad y el Magnetismo. 

Aplicaciones de Divergencia

Divergencia. Varias Coordendas

Comparada con la divergencia en coordenadas rectangulares:
En coordenadas polar cilíndrica:
y en coordenadas polar esférica:

ENLACE DEL TEOREMA DE DIVERGENCIA VIDEO

Enero

03-01-2017

VALORES MÁXIMOS Y MÍNIMOS ABSOLUTO

                                                    2

Si f es continua en un conjunto D cerrado y acotado en R entonces f alcanza un valor máximo absoluto f(x1,y1) y un valor mínimo absoluto f(x2,y2) en algunos puntos (x1,y1)^(x2,y2) en D.

Para determinar los extremos absolutos:

1.- Calculan los valores de f en los puntos críticos de f en D.

2.- Se determinan los valores extremos de f en la frontera de D

3.- El valor mas grande es el máximo absoluto (Mabs) y el valor mas pequeño es el mínimo absoluto (mabs)

MÍNIMOS Y MÁXIMOS CONDICIONALES

MÉTODO DE MULTIPLICADORES DE LAGRANGE

Los multiplicadores de lagrange es otro método quizás mas efectivo al momento de hallar puntos críticos que maximicen o minimicen una función, pero usamos estos multiplicadores siempre y cuando nos den una restricción, es decir los multiplicadores de Lagrange son de mucha ayuda en el desarrollo de problemas de optimizacion.

Les comparto un video donde se explica detalladamente  los Multiplicadores de Lagrange.

https://www.youtube.com/watch?v=v4hobyDhX4s

https://www.youtube.com/watch?v=hfnj3JWSRFo

Se denomina extremo condicionado de una función f(x,y) al máximo o mínimo de esta función alcanzando con la condición de que las variables independientes estén relacionadas entre si mediante la ecuación:

g(x,y) = 0

Para hallar los extremos condicionados de f(x,y) con la ecuación de enlace g(x,y)= 0 , se forma la Función de Lagrange.

F(x,y,λ) = f(x,y) + λg(x,y)

   donde:   λ : Multiplicador de Lagrange     

-Se procede a hallar los puntos extremos para la función de Lagrange.

-Si tenemos:    U = f(x,y,z)  ;  g1(x,y,x)= 0  ; g2(x,y,z)= 0

F(x,y,z,λ1,λ2) = f(x,y,z) + λ1g1(x,y,z) + λ2g2(x,y,z)

Integrales Múltiples

Integrales sobre Regiones Rectangulares

Si f(x,y)>= 0, entonces el volumen del solido que yace arriba del rectángulo R y debajo de la superficie z = f(x,y)es:

Integrales sobre Regiones Generales

Transformación de Integrales Múltiples

Coordenadas Polares

x = r cos( θ)               (x,y)->(r,θ)

y = t sen( θ)                  |J| = r


Coordenadas Cilíndricas

x = r cos( θ)             (x,y,z)->(r,θ,z)

y = t sen( θ)                  |J| = r

z = z

Coordenadas Esféricas

x = ρsen(Φ)cos( θ)        (x,y,z)->(ρ,θ,Φ)

y = ρsen(Φ)sen( θ)             |J| = ρ^2 sen(Φ)

z = ρcos(Φ)

APLICACIONES DE LAS INTEGRALES MÚLTIPLES

1.-Cálculo de áreas planas 

2.-Cálculo de volúmenes

3.-Cálculo de centro de masa

4.-Cálculo de momento de inercia 

5.-Cálculo de probabilidad

CENTRO DE MASA

El centro de masa es el punto donde se considera está concentrada la masa de un cuerpo.

a. Caso Discreto

Se da cuando se tienen pocos puntos de referencia

b. Si se trata de "n" masas

c. Caso continuo

Se trata cuando el número de masas n tiende al infinito

Para todos los casos presentados, se puede definir un punto o vector de centro de masa:

a. Distribución de masa lineal

Cuando se tiene un cuerpo con una sola dimensión, se puede definir la siguiente igualdad:

b. Distribución de masa superficial

Si se tiene un cuerpo de dos dimensiones, se utiliza un diferencial de área, y se define la siguiente igualdad:

c. Distribución de masa volumétrica

Cuando se tiene un cuerpo sólido de 3 dimesiones, para lo que se usa un diferencial de volumen, y se forma la igualdad:

Dadas estas igualdades, se puede reemplazar dm dentro de las integrales para que estas puedan ser resueltas mas fácilmente, haciendo uso de integrales simples, dobles y triples.

MOMENTO DE INERCIA

CAMPOS VECTORIALES

Un campo vectorial se define como una función que se define sobre un vector en Rn, es decir, un vector que se transforma en otro vector gracias a una función f:

Evidencias

EVIDENCIAS DE CÁLCULO VECTORIAL

Para visualizar las evidencias de todas las tareas que se a realizado. Haga clip aquí

Diciembre

LIMITES Y CONTINUIDAD

Sea f: R2==>R

       (x,y)==>z=f(x,y)

Una función de dos variables, cuyo dominio D contiene entre otros, puntos arbitrariamente cercanos a (a,b). Entonces el limite de f(x,y) cuando (x,y) tiende a (a,b), por lo que se escribe:

     Lim               f(x,y)=L <---> para todo  E>0 ; exista d>0 si (x,y) pertenece R y 

(x,y)-->(a,b)                                                        

  ===>    

*otras formas de detonación son:

f(x,y)==> L cuando(x,y) ==>(xo,yo)

Ejemplo:

Entorno: D:|(x,y)-(a,b)|<d

              |(x-a;y-b|<d

               (x-a)^2+(y-b)^2<d^2 ==> Ec. de c(a,b) y R=d

Si para cada E>0 existe un d>0 tal que

Gráficamente, esta definición de límite implica que para cualquier punto (x,y) no es igual (Xo,Yo) en el disco de radio d, el v f(x,y) esta entre L+E YL-E.

 El valor de la definición anterior se refiere sólo a la distancia entre (x, y) y (Xo,Yo) . No habla a la dirección de aproximación. Por eso, si el límite existe, entonces f(x,y)  debe aproximarse a mismo límite, sin importar la forma en que (x, y) se aproxime a (Xo,Yo) . Así pues, si podemos encontrar dos diferentes trayectorias de acercamiento a lo largo de las cuales f(x,y)  tiene distintos límites, entonces se concluye que el límite no existe.

Si f(x,y) ---->L1 conforme  (x, y)---->  (Xo,Yo) a lo largo de una trayectoria C1 y  f(x,y)--->L2 conforme x, y)---->  (Xo,Yo a lo largo de una trayectoria C2 ,donde L1 NO ES IGUAL A L2, entonces el límite no existe.

Notas Importantes:

*Para las funciones de dos variables, el domino es una parte o todo el plano xoy, por tanto existen infinitos caminos o trayectorias de acercamiento.

*Si por dos caminos diferentes el valor del limite toma diferente valor, podemos concluir que el limite no existe

*Si por dos o mas caminos diferentes el limite toma el mismo valor "L", se supone que el limite existe y se debe procede a demostrarlo

CONTINUIDAD

Para demostrar que f(x,y) es continua en (a,b) entonces debe cumplirse que:

i) Existe f(a,b)

ii)Existe

iii)=f(a,b)

Se pueden presentar dos tipos de discontinuidad:

Evitable

Se redefine la función para obligarle a que cumpla la condición

Inevitable

Si no existe el límite de la función

DERIVADAS PARCIALES 

  Derivada parcial de una función de varias variables.

  Sea una función de dos variables z = f(x, y), se definen las derivadas parciales:

(Una definición obvia si la comparamos con la derivada de una función de una variable)

  Para la derivada de z "respecto de x" consideramos a la variable "y" como si fuera una constante, mientras que al hacer la derivada de z "respecto de y" consideramos a la variable "x" como si fuera constante.

  Veamos, como ejemplo, las dos derivadas parciales de la función:    

 Para ello recordemos que la derivada de la función  z = eu  es:   z’ = u’ . eu , siendo u en nuestro caso: x2 + y2 , entonces la derivada de u respecto x es 2x (con la yconstante), mientras que la derivada de u respecto y es 2y (con la x constante). Así tenemos:

Otras formas de expresar la derivada de la función z = f(x,y) con respecto a x son:

mientras que para expresar la derivada de la función z = f(x,y) con respecto a y :

 Esta definición de derivada se extiende a funciones de tres o más variables, por ejemplo, para una función de tres variables  w = f(x,y,z) sus tres derivadas parciales son:

en cada una de ellas se consideran constantes los dos parámetros distintos a los que se realiza la derivada.

 DIFERENCIAL DE VARIAS VARIABLES

Sea una función de dos variables z = f(x, y), se define la diferencial de esta función como:

Geométricamente hay que interpretar las diferenciales como "incrementos infinitesimales".

Como ejemplo, expresemos la diferencial de la función: , ya que hemos realizado anteriormente las dos derivadas parciales:

Tanto en las derivadas como en las diferenciales, se suele hablar de valores en un punto P(a, b), para ello se sustituye en ellas el valor de x por a, y el valor de y por b. Por ejemplo, las derivadas y la diferencial en el punto P(1, 2) se calculan sustituyendo x=1, y=2.

  Para la función:  la derivada en el punto (1,2) son:

y la diferencial en ese punto:

Interpretación geométrica de las derivadas parciales:

Interpretación física de la derivadas parciales:

Las derivadas parciales de z = f (x,y) representan las Razones de Cambio de la variable "z", cuando "x" varia manteniendo fija "y" o viceversa.  

Se puede hablar de tasas o índices de cambio.

Diferenciales

\

La regla de la Cadena:

Caso I: Suponga que z = f(x,y) es una función diferenciable de x y y, donde x = g(t) y y = h(t) son ambas funciones diferenciables de t. Entonces z es una función diferenciable de t.

Caso II: Suponga que z = f(x,y) es una función diferenciable de x y y, donde x = g(s,t) y y = h(s,t) son ambas funciones diferenciables de s y t. Entonces z es una función diferenciable de s y t.

La regla de la Cadena: versión general

Suponga que u es una función diferenciable de las n variables  x1, x2,…, xn y que cada xj es una función diferenciables delas m variables  t1, t2,…,tm. Entonces u es una función diferenciable de t1, t2, …, tm.

Derivación Implícita

Suponga una ecuación de la forma F(x,y) = 0 define a y en forma implícita como una función diferenciable de x, es decir,y =f(x), donde F(x,f(x))=0 para toda x en el dominio de f. Si F es diferenciable se aplica la regla de la cadena a ambos lados y se obtiene:

Peros dx/dx = 1, de este modo si ∂F/ ∂y≠0 se obtiene

En el caso de z =f(x,y), se tiene la ecuación F(x,y,z)=0. Esto quiere decir que

F(x,y,f(x,y))=0 y la regla de la cadena para esta ecuación es

Siempre que ∂F/∂z≠0

Máximos y Mínimos

Definición:

Una función de dos variables tiene un máximo relativo en (a,b) si f(x,y)<f(a,b) cuando (x,y) esta cerca de (a,b).

El valor f(a,b) recibe el nombre de VALOR MÁXIMO RELATIVO

Si cumple que f(x,y)>f(a,b) cuando (x,y) esta cerca de (a,b) es un mínimo relativo en (a,b) y f(a,b) recibe el nombre de VALOR MÍNIMO RELATIVO

Si estas condiciones de desigualdad se cumple en todo el dominio de f(x,y) entonces toma el nombre de máximos y mínimos absolutos.

Criterio de la Segunda Derivada 

Suponga que las segundas derivadas parciales de f(x,y) existen y son continuas en un disco de centro (a,b) y suponga que fx(a,b)=0 y fy(a,b)=0 es decir (a,b) es un punto critico de f(x,y) sea:

Para Recordar: