VALORES MÁXIMOS Y MÍNIMOS ABSOLUTO
Transformación de Integrales Múltiples
Coordenadas Polares
x = r cos( θ) (x,y)->(r,θ)
y = t sen( θ) |J| = r
Coordenadas Cilíndricas
x = r cos( θ) (x,y,z)->(r,θ,z)
y = t sen( θ) |J| = r
z = z
Coordenadas Esféricas
x = ρsen(Φ)cos( θ) (x,y,z)->(ρ,θ,Φ)
y = ρsen(Φ)sen( θ) |J| = ρ^2 sen(Φ)
z = ρcos(Φ)
2
Si f es continua en un conjunto D cerrado y acotado en R entonces f alcanza un valor máximo absoluto f(x1,y1) y un valor mínimo absoluto f(x2,y2) en algunos puntos (x1,y1)^(x2,y2) en D.
Para determinar los extremos absolutos:
1.- Calculan los valores de f en los puntos críticos de f en D.
2.- Se determinan los valores extremos de f en la frontera de D
3.- El valor mas grande es el máximo absoluto (Mabs) y el valor mas pequeño es el mínimo absoluto (mabs)
MÍNIMOS Y MÁXIMOS CONDICIONALES
MÉTODO DE MULTIPLICADORES DE LAGRANGE
Los multiplicadores de lagrange es otro método quizás mas efectivo al momento de hallar puntos críticos que maximicen o minimicen una función, pero usamos estos multiplicadores siempre y cuando nos den una restricción, es decir los multiplicadores de Lagrange son de mucha ayuda en el desarrollo de problemas de optimizacion.
Les comparto un video donde se explica detalladamente los Multiplicadores de Lagrange.
Se denomina extremo condicionado de una función f(x,y) al máximo o mínimo de esta función alcanzando con la condición de que las variables independientes estén relacionadas entre si mediante la ecuación:
g(x,y) = 0
Para hallar los extremos condicionados de f(x,y) con la ecuación de enlace g(x,y)= 0 , se forma la Función de Lagrange.
F(x,y,λ) = f(x,y) + λg(x,y)
donde: λ : Multiplicador de Lagrange
-Se procede a hallar los puntos extremos para la función de Lagrange.
-Si tenemos: U = f(x,y,z) ; g1(x,y,x)= 0 ; g2(x,y,z)= 0
F(x,y,z,λ1,λ2) = f(x,y,z) + λ1g1(x,y,z) + λ2g2(x,y,z)
Integrales Múltiples
Integrales sobre Regiones Rectangulares
Si f(x,y)>= 0, entonces el volumen del solido que yace arriba del rectángulo R y debajo de la superficie z = f(x,y)es:
Integrales sobre Regiones Generales
Transformación de Integrales Múltiples
Coordenadas Polares
x = r cos( θ) (x,y)->(r,θ)
y = t sen( θ) |J| = r
Coordenadas Cilíndricas
x = r cos( θ) (x,y,z)->(r,θ,z)
y = t sen( θ) |J| = r
Coordenadas Esféricas
x = ρsen(Φ)cos( θ) (x,y,z)->(ρ,θ,Φ)
y = ρsen(Φ)sen( θ) |J| = ρ^2 sen(Φ)
APLICACIONES DE LAS INTEGRALES MÚLTIPLES
1.-Cálculo de áreas planas
2.-Cálculo de volúmenes
3.-Cálculo de centro de masa
4.-Cálculo de momento de inercia
5.-Cálculo de probabilidad
CENTRO DE MASA
El centro de masa es el punto donde se considera está concentrada la masa de un cuerpo.
a. Caso Discreto
Se da cuando se tienen pocos puntos de referencia
b. Si se trata de "n" masas
c. Caso continuo
Se trata cuando el número de masas n tiende al infinito
Para todos los casos presentados, se puede definir un punto o vector de centro de masa:
a. Distribución de masa lineal
b. Distribución de masa superficial
Si se tiene un cuerpo de dos dimensiones, se utiliza un diferencial de área, y se define la siguiente igualdad:
c. Distribución de masa volumétrica
Cuando se tiene un cuerpo sólido de 3 dimesiones, para lo que se usa un diferencial de volumen, y se forma la igualdad:
Dadas estas igualdades, se puede reemplazar dm dentro de las integrales para que estas puedan ser resueltas mas fácilmente, haciendo uso de integrales simples, dobles y triples.
MOMENTO DE INERCIA
CAMPOS VECTORIALES
Un campo vectorial se define como una función que se define sobre un vector en Rn, es decir, un vector que se transforma en otro vector gracias a una función f:
