EVIDENCIAS DE CÁLCULO VECTORIAL
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jueves, 8 de diciembre de 2016
Diciembre
LIMITES Y CONTINUIDAD
Sea f: R2==>R
(x,y)==>z=f(x,y)
Una función de dos variables, cuyo dominio D contiene entre otros, puntos arbitrariamente cercanos a (a,b). Entonces el limite de f(x,y) cuando (x,y) tiende a (a,b), por lo que se escribe:
Lim f(x,y)=L <---> para todo E>0 ; exista d>0 si (x,y) pertenece R y
(x,y)-->(a,b)
===> 
*otras formas de detonación son:
f(x,y)==> L cuando(x,y) ==>(xo,yo)
Ejemplo:
Entorno: D:|(x,y)-(a,b)|<d
|(x-a;y-b|<d
(x-a)^2+(y-b)^2<d^2 ==> Ec. de c(a,b) y R=d
Si para cada E>0 existe un d>0 tal que
Gráficamente, esta definición de límite implica que para cualquier punto (x,y) no es igual (Xo,Yo) en el disco de radio d, el v f(x,y) esta entre L+E YL-E.
El valor de la definición anterior se refiere sólo a la distancia entre (x, y) y (Xo,Yo) . No habla a la dirección de aproximación. Por eso, si el límite existe, entonces f(x,y) debe aproximarse a mismo límite, sin importar la forma en que (x, y) se aproxime a (Xo,Yo) . Así pues, si podemos encontrar dos diferentes trayectorias de acercamiento a lo largo de las cuales f(x,y) tiene distintos límites, entonces se concluye que el límite no existe.
Si f(x,y) ---->L1 conforme (x, y)----> (Xo,Yo) a lo largo de una trayectoria C1 y f(x,y)--->L2 conforme x, y)----> (Xo,Yo a lo largo de una trayectoria C2 ,donde L1 NO ES IGUAL A L2, entonces el límite no existe.
Notas Importantes:
*Para las funciones de dos variables, el domino es una parte o todo el plano xoy, por tanto existen infinitos caminos o trayectorias de acercamiento.
*Si por dos caminos diferentes el valor del limite toma diferente valor, podemos concluir que el limite no existe
*Si por dos o mas caminos diferentes el limite toma el mismo valor "L", se supone que el limite existe y se debe procede a demostrarlo
CONTINUIDAD
Para demostrar que f(x,y) es continua en (a,b) entonces debe cumplirse que:
i) Existe f(a,b)
ii)Existe
iii)
=f(a,b)
=f(a,b)
Se pueden presentar dos tipos de discontinuidad:
Evitable
Se redefine la función para obligarle a que cumpla la condición
Inevitable
Si no existe el límite de la función
DERIVADAS PARCIALES
Derivada parcial de una función de varias variables.
Sea una función de dos variables z = f(x, y), se definen las derivadas parciales:
(Una definición obvia si la comparamos con la derivada de una función de una variable)
Para la derivada de z "respecto de x" consideramos a la variable "y" como si fuera una constante, mientras que al hacer la derivada de z "respecto de y" consideramos a la variable "x" como si fuera constante.
Veamos, como ejemplo, las dos derivadas parciales de la función: 
Para ello recordemos que la derivada de la función z = eu es: z’ = u’ . eu , siendo u en nuestro caso: x2 + y2 , entonces la derivada de u respecto x es 2x (con la yconstante), mientras que la derivada de u respecto y es 2y (con la x constante). Así tenemos:
Otras formas de expresar la derivada de la función z = f(x,y) con respecto a x son:
mientras que para expresar la derivada de la función z = f(x,y) con respecto a y :
Esta definición de derivada se extiende a funciones de tres o más variables, por ejemplo, para una función de tres variables w = f(x,y,z) sus tres derivadas parciales son:
en cada una de ellas se consideran constantes los dos parámetros distintos a los que se realiza la derivada.
DIFERENCIAL DE VARIAS VARIABLES
Sea una función de dos variables z = f(x, y), se define la diferencial de esta función como:
Geométricamente hay que interpretar las diferenciales como "incrementos infinitesimales".
Como ejemplo, expresemos la diferencial de la función:
, ya que hemos realizado anteriormente las dos derivadas parciales:
, ya que hemos realizado anteriormente las dos derivadas parciales:
Tanto en las derivadas como en las diferenciales, se suele hablar de valores en un punto P(a, b), para ello se sustituye en ellas el valor de x por a, y el valor de y por b. Por ejemplo, las derivadas y la diferencial en el punto P(1, 2) se calculan sustituyendo x=1, y=2.
Para la función: 
la derivada en el punto (1,2) son:
la derivada en el punto (1,2) son:
y la diferencial en ese punto:
Interpretación geométrica de las derivadas parciales:
Interpretación física de la derivadas parciales:
Las derivadas parciales de z = f (x,y) representan las Razones de Cambio de la variable "z", cuando "x" varia manteniendo fija "y" o viceversa.
Se puede hablar de tasas o índices de cambio.
Diferenciales
\
La regla de la Cadena:
Caso I: Suponga que z = f(x,y) es una función diferenciable de x y y, donde x = g(t) y y = h(t) son ambas funciones diferenciables de t. Entonces z es una función diferenciable de t.
Caso II: Suponga que z = f(x,y) es una función diferenciable de x y y, donde x = g(s,t) y y = h(s,t) son ambas funciones diferenciables de s y t. Entonces z es una función diferenciable de s y t.
La regla de la Cadena: versión general
Suponga que u es una función diferenciable de las n variables x1, x2,…, xn y que cada xj es una función diferenciables delas m variables t1, t2,…,tm. Entonces u es una función diferenciable de t1, t2, …, tm.
Derivación Implícita
Suponga una ecuación de la forma F(x,y) = 0 define a y en forma implícita como una función diferenciable de x, es decir,y =f(x), donde F(x,f(x))=0 para toda x en el dominio de f. Si F es diferenciable se aplica la regla de la cadena a ambos lados y se obtiene:
Peros dx/dx = 1, de este modo si ∂F/ ∂y≠0 se obtiene
En el caso de z =f(x,y), se tiene la ecuación F(x,y,z)=0. Esto quiere decir que
F(x,y,f(x,y))=0 y la regla de la cadena para esta ecuación es
Máximos y Mínimos
Definición:
Una función de dos variables tiene un máximo relativo en (a,b) si f(x,y)<f(a,b) cuando (x,y) esta cerca de (a,b).
El valor f(a,b) recibe el nombre de VALOR MÁXIMO RELATIVO
Si cumple que f(x,y)>f(a,b) cuando (x,y) esta cerca de (a,b) es un mínimo relativo en (a,b) y f(a,b) recibe el nombre de VALOR MÍNIMO RELATIVO
Si estas condiciones de desigualdad se cumple en todo el dominio de f(x,y) entonces toma el nombre de máximos y mínimos absolutos.
Criterio de la Segunda Derivada
Suponga que las segundas derivadas parciales de f(x,y) existen y son continuas en un disco de centro (a,b) y suponga que fx(a,b)=0 y fy(a,b)=0 es decir (a,b) es un punto critico de f(x,y) sea:
Para Recordar:
jueves, 24 de noviembre de 2016
Noviembre
CLASE N°5
01-11-2016
LA RECTA 3
R^3
se puede escribir: F(t)=(x(y),y(t),z(t)) ó F(t)=x(t)i+y(t)j+z(t)k
donde: x(t),y(t) y z(t) se denominan las componentes de F(t).
Se puede obtener:
x(t)=f1(t)
y(t)=f2(t) t∈R
z(t)=f3(t)
HAZ DE PLANOS
HAZ DE PLANOS
Conjunto de planos que se intersecan en una misma recta.
https://sites.google.com/site/anasanzsite/_/rsrc/1272824002676/matematicas-ii/temas-de-matematicas-ii/posiciones-relativas-de-rectas-y-planos/posiciones-relativas-de-tres-planos/3%20planos%201%20recta%20com%C3%BAn.bmp?height=270&width=320
Si r viene definida por sus ecuaciones implícitas
la ecuación del haz de planos de eje r viene dada por la igualdad:
Si dividimos por λ y hacemos
CLASE N°6
04-11-2016
Superficies de Segundo Orden
Cilindros y Superficies cilíndricas
La ecuación de estas superficies es:
Si se selecciona un sistema de coordenadas adecuado esta ecuación puede simplificar significativamente.
Algunas de las superficies cuadráticas son:
https://sites.google.com/site/avcportafolio/_/rsrc/1468869765196/home/parcial-2/seccion-academica/Captura.JPG
- Se debe buscar las intersecciones con los ejes coordenados
- La intersección con los planos coordenados
- La intersección con los planos paralelos a los planos coordenados
Y la figura quedaría:
http://www.monografias.com/trabajos94/superficies-cuadricas-2/image044.jpg
CLASE N°7
15-11-2016
CLASE N°8
18-11-2016
LIMITES Y CONTINUIDAD
Dado la función:
F: I c R -> R^n
t -> F(t) = (f1(t),f2(t);...fn(t))
y si A=(a1,a2,...,an) entonces:
lim F(t) = A <---------> lim fi(t)=ai
t->to t->to
*El límite de F(t) existe ssi el límite de cada fi existe, en caso contratio si solo una de las fi no tiene limite, entonces se concluye que: no existe lim F(t)
t->to
CONTINUIDAD
Sea F: I c R -> R^n
t -> F(t) = (f1(t),f2(t);...fn(t))
Se dice que F(t) es continua en to, si se cumple:
lim F(t)=F(to)
t->to
i)∃ F(t0)
ii)∃ lim F(t)
t->to
iii) lim F(t) = F(to)
t->to
DERIVACIÓN E INTEGRACIÓN
Dada una función vectorial
F: I --> R^n, donde I c R y sea to ∈ I, se dice que F es derivable en to, si existe:
lim F(to+h)-F(to)/h
h->0
Notación
La derivada de F(t), se denota por:
F'(to)=DtF(to)=dF(to)/dt
Por tanto:
F'(to) = lim F(to+h)-F(to)/h
h->0
Propiedades
INTEGRACIÓN
Proceso que permite restituir una función que ha sido previamente derivada. Es decir, la operación opuesta de la derivada así como la suma es a la resta.
Integración Definida
Para la función vectorial 
, se define la integral definida de la misma :
Propiedades
Ejemplo
LONGITUD DE CURVA
TRIEDRO MÓVIL
Vector Tangente T = r'(t)
Vector Binormal B=r'(t) x r''(t)
Vector Normal Principal N=B x T
Plano osculador T^N
Plano normal B^N
Plano rectificante T^B
PLANO OSCULADOR (PO)
(r-ro) . B=0
B1(x-xo) + B2(y-yo) + B3(z-zo)=0
PLANO NORMAL (PNP)
(r-ro) . T=0
T1(x-xo) + T2(y-yo) + T3(z-zo)=0
PLANO RECTIFICANTE (PR)
(r-ro) . N=0
N1(x-xo) + N2(y-yo) + N3(z-zo)=0
RECTA TANGENTE (RT)
RECTA NORMAL (RN)
RECTA BINOMIAL (RB)
La curvatura de flexión o simplemente curvatura se define:
Radio de curvatura de flexión
Se llama radio de curvatura de flexión al inverso de la curvatura de flexiónLa curvatura de flexión es la razón de cambio de dirección del vector T de un punto a otro
La torsión nos indica el alejamiento a acercamiento de la curva en un plano osculador
Las curvaturas de flexión y de torsión se calcula también
FUNCIONES ESCALARES DE VARIAS VARIABLES
Una función escalar, también llamada función real de varias variables ( o de variable múltiple) es una aplicación que representamos por
f:A⊆Rn⇒R(x1,x2,...,xn)⇒z=f(x1,x2,...,xn) ,
donde el conjunto A⊆Rn se llama dominio de f , se representa por A=Dom(f)=Domf .
El dominio de f , es el conjunto de los elementos de Rn que tienen imagen mediante f , es decir: A=Domf={(x1,x2,...,xn)∈Rn/∃f(x1,x2,...,xn)}
Llamamos imagen de la función f al conjunto de los números reales que tienen correspondencia con algún elemento del dominio, se representa porIm(f) .
Im(f)={z∈R/∃(x1,x2,...,xn)∈A⊆Rn verificandoz=f(x1,x2,...,xn)}
Descriptores:
Funciones de varias variables
La función f:A⊆R2⟶R definida por f(x,y)=+x2y−−−√ . Es una función escalar de dos variables. Determinar su dominio y su imagen.
Dominio de la función.
∃f(x,y)⇔x2y≥0⇔y≥0⇒Dom(f)={(x,y)∈R2/y≥0}
Imagen de la función.
x2y≥0⇒+x2y−−−√≥0⇒Im(f)=[0,+∞[⊂R
GRÁFICAS
Si f es una función de dos variables con dominio D, entonces la gráfica de f es el conjunto de todos los planos (x,y,z) en R^3 tal que Z=f(x,y), siendo (x,y) E D
Curvas de nivel
La curvas de nivel de una función f(x,y) son las curvas cuyas ecuaciones son f(x,y)=K, donde K es una constante (en el rango de f).
Las curvas de nivel sirve para realizar la topo logia de una región
- Si la función f(x,y) representa
i) La función temperatura, las curvas de nivel de nivel se denominan isotermas.
ii) La función potencia → equipo tenciales.
iii)La función presión → Isobaras.
- Si las curvas de nivel se representa en 3D, entonces se denomina curvas de entorno
Ejemplo
Integración Definida
Para la función vectorial , se define la integral definida de la misma :
, se define la integral definida de la misma :
Propiedades
Ejemplo
LONGITUD DE CURVA
TRIEDRO MÓVIL
Vector Tangente T = r'(t)
Vector Binormal B=r'(t) x r''(t)
Vector Normal Principal N=B x T
Plano osculador T^N
Plano normal B^N
Plano rectificante T^B
PLANO OSCULADOR (PO)
(r-ro) . B=0
B1(x-xo) + B2(y-yo) + B3(z-zo)=0
PLANO NORMAL (PNP)
(r-ro) . T=0
T1(x-xo) + T2(y-yo) + T3(z-zo)=0
PLANO RECTIFICANTE (PR)
(r-ro) . N=0
N1(x-xo) + N2(y-yo) + N3(z-zo)=0
RECTA TANGENTE (RT)
RECTA NORMAL (RN)
RECTA BINOMIAL (RB)
La curvatura de flexión o simplemente curvatura se define:
Radio de curvatura de flexión
Se llama radio de curvatura de flexión al inverso de la curvatura de flexiónLa curvatura de flexión es la razón de cambio de dirección del vector T de un punto a otro
La torsión nos indica el alejamiento a acercamiento de la curva en un plano osculador
Las curvaturas de flexión y de torsión se calcula también
FUNCIONES ESCALARES DE VARIAS VARIABLES
Una función escalar, también llamada función real de varias variables ( o de variable múltiple) es una aplicación que representamos por
donde el conjunto
El dominio de f , es el conjunto de los elementos de Rn que tienen imagen mediante f , es decir: A=Domf={(x1,x2,...,xn)∈Rn/∃f(x1,x2,...,xn)}
Llamamos imagen de la función f al conjunto de los números reales que tienen correspondencia con algún elemento del dominio, se representa porIm(f) .
Descriptores:
Funciones de varias variables
La función f:A⊆R2⟶R definida por f(x,y)=+x2y−−−√ . Es una función escalar de dos variables. Determinar su dominio y su imagen.
Dominio de la función.
Imagen de la función.
GRÁFICAS
Si f es una función de dos variables con dominio D, entonces la gráfica de f es el conjunto de todos los planos (x,y,z) en R^3 tal que Z=f(x,y), siendo (x,y) E D
Curvas de nivel
La curvas de nivel de una función f(x,y) son las curvas cuyas ecuaciones son f(x,y)=K, donde K es una constante (en el rango de f).
Las curvas de nivel sirve para realizar la topo logia de una región
- Si la función f(x,y) representa
i) La función temperatura, las curvas de nivel de nivel se denominan isotermas.
ii) La función potencia → equipo tenciales.
iii)La función presión → Isobaras.
- Si las curvas de nivel se representa en 3D, entonces se denomina curvas de entorno
Ejemplo
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