Noviembre

CLASE N°5

01-11-2016

LA RECTA 3

R^3

se puede escribir: F(t)=(x(y),y(t),z(t)) ó F(t)=x(t)i+y(t)j+z(t)k 

donde: x(t),y(t) y z(t) se denominan las componentes de F(t).

Se puede obtener: 

x(t)=f1(t)

y(t)=f2(t)                        t∈R

z(t)=f3(t) 


HAZ DE PLANOS 

Conjunto de planos que se intersecan en una misma recta.

https://sites.google.com/site/anasanzsite/_/rsrc/1272824002676/matematicas-ii/temas-de-matematicas-ii/posiciones-relativas-de-rectas-y-planos/posiciones-relativas-de-tres-planos/3%20planos%201%20recta%20com%C3%BAn.bmp?height=270&width=320

Si r viene definida por sus ecuaciones implícitas

la ecuación del haz de planos de eje r viene dada por la igualdad:

Si dividimos por λ y hacemos

 CLASE N°6

04-11-2016

Superficies de Segundo Orden

Cilindros y Superficies cilíndricas

La ecuación de estas superficies es:

Si se selecciona un sistema de coordenadas adecuado esta ecuación puede simplificar significativamente. 

Algunas de las superficies cuadráticas son: 

https://sites.google.com/site/avcportafolio/_/rsrc/1468869765196/home/parcial-2/seccion-academica/Captura.JPG

• Se debe buscar las intersecciones con los ejes coordenados
• La intersección con los planos coordenados

• La intersección con los planos paralelos a los planos coordenados

Y la figura quedaría:

http://www.monografias.com/trabajos94/superficies-cuadricas-2/image044.jpg

CLASE N°7

15-11-2016

CLASE N°8

18-11-2016

 LIMITES Y CONTINUIDAD

Dado la función:

F: I c R -> R^n

         t  -> F(t) = (f1(t),f2(t);...fn(t))

y si A=(a1,a2,...,an) entonces:

lim F(t) = A <---------> lim fi(t)=ai

t->to                              t->to  

*El límite de F(t) existe ssi el límite de cada fi existe, en caso contratio si solo una de las fi no tiene limite, entonces se concluye que: no existe lim F(t)

                                                      t->to

CONTINUIDAD

Sea F: I c R -> R^n

         t  -> F(t) = (f1(t),f2(t);...fn(t))

Se dice que F(t) es continua en to, si se cumple:

 lim  F(t)=F(to)

 t->to

i)∃ F(t0)

ii)∃ lim  F(t)

      t->to 

iii) lim  F(t) = F(to)

    t->to

DERIVACIÓN E INTEGRACIÓN

Dada una función vectorial 

F: I --> R^n, donde  I c R y sea to ∈ I, se dice que F es derivable en to, si existe:

 lim   F(to+h)-F(to)/h

h->0

Notación

La derivada de F(t), se denota por:

F'(to)=DtF(to)=dF(to)/dt

Por tanto:

F'(to) =  lim F(to+h)-F(to)/h

             h->0

Propiedades 

INTEGRACIÓN

Proceso que permite restituir una función que ha sido previamente derivada. Es decir, la operación opuesta de la derivada así como la suma es a la resta.

Integración Definida

Para la función vectorial , se define la integral definida de la misma :

Propiedades 

Ejemplo

LONGITUD DE CURVA

TRIEDRO MÓVIL

       

Vector Tangente  T = r'(t)

Vector Binormal  B=r'(t) x r''(t)      

Vector Normal Principal  N=B x T    

Plano osculador               T^N

Plano normal                    B^N

Plano rectificante              T^B

PLANO OSCULADOR (PO)

(r-ro) . B=0

B1(x-xo) + B2(y-yo) + B3(z-zo)=0

PLANO NORMAL (PNP)

(r-ro) . T=0

T1(x-xo) + T2(y-yo) + T3(z-zo)=0

PLANO RECTIFICANTE (PR)

(r-ro) . N=0

N1(x-xo) + N2(y-yo) + N3(z-zo)=0   

RECTA TANGENTE (RT)

RECTA NORMAL (RN)

RECTA BINOMIAL (RB)

 

La curvatura de flexión o simplemente curvatura se define:

                                                                      
Radio de curvatura de flexión
Se llama radio de curvatura de flexión al inverso de la curvatura de flexiónLa curvatura de flexión es la razón de cambio de dirección del vector T de un punto a otro    

- Curvatura de torsión (T)

La torsión nos indica el alejamiento a acercamiento de la curva en un plano osculador

Las curvaturas de flexión y de torsión se calcula también 

FUNCIONES ESCALARES DE VARIAS VARIABLES

Una función escalar, también llamada función real de varias variables ( o de variable múltiple) es una aplicación que representamos por 

 
 
 
 
 f:A⊆Rn⇒R(x1,x2,...,xn)⇒z=f(x1,x2,...,xn), 

donde el conjunto A⊆Rn se llama dominio de f, se representa por A=Dom(f)=Domf.

El dominio de f, es el conjunto de los elementos de Rn que tienen imagen mediante f, es decir:  A=Domf={(x1,x2,...,xn)∈Rn/∃f(x1,x2,...,xn)}

Llamamos imagen de la función f al conjunto de los números reales que tienen correspondencia con algún elemento del dominio, se representa porIm(f).

Im(f)={z∈R/∃(x1,x2,...,xn)∈A⊆Rn verificandoz=f(x1,x2,...,xn)}

Descriptores: 

Funciones de varias variables

La función f:A⊆R2⟶R definida por f(x,y)=+x2y−−−√. Es una función escalar de dos variables. Determinar su dominio y su imagen.

Dominio de la función.

∃f(x,y)⇔x2y≥0⇔y≥0⇒Dom(f)={(x,y)∈R2/y≥0}

Imagen de la función.

x2y≥0⇒+x2y−−−√≥0⇒Im(f)=[0,+∞[⊂R    

GRÁFICAS 

Si f es una función de dos variables con dominio D, entonces la gráfica de f es el conjunto de todos los planos (x,y,z) en R^3 tal que Z=f(x,y), siendo (x,y) E D

Curvas de nivel 

La curvas de nivel de una función f(x,y) son las curvas cuyas ecuaciones son f(x,y)=K, donde K es una constante  (en el rango de f).

Las curvas de nivel sirve para realizar la topo logia de una región

- Si la función f(x,y) representa 

i) La función temperatura, las curvas de nivel de nivel se denominan isotermas.  

ii) La función potencia → equipo tenciales. 

iii)La función presión → Isobaras.

- Si las curvas de nivel se representa en 3D, entonces se denomina curvas de entorno 

Ejemplo